笛卡尔

1、设( G* )、( G· )是两个群，有各自的乘法 *、· 和各自的单位元e、l，分别从G1和G2中任取一个元素组成所有可能的有序对，组成的集合记作G1×G在上面定义一个运算◎，对于G1×G2中任意两个元素(a1,B1)、(a2,B2)，规定(a1,B1) (a2,B2)=(a1 * a2,B1 · B2)，这叫做G1和G2的直积，记作{ G1×G2, ◎ }，单位元是(e,l)。

2、相反，帕斯卡尔对人类的局限性有着充分的理解，他很早就意识到人类的脆弱和过失，他对世界的思考意在克服内心的焦虑，寻求一种确定性，就如同笛卡尔在数学中寻找确定性那样。而对帕斯卡尔来说，无穷的小或无穷的大都让他感觉到惊诧和敬畏，他的数学发现是在有限的空间里得到的，在谈到宇宙时他写道，“这些无限空间的永恒沉默使我恐惧，”而微小的寄生虫又使之如临“新的深渊”。(笛卡尔)。

3、一只蜘蛛成功激起了笛卡尔的数学兴趣，因为当时的他正思考几何中的点如何才能在代数中表示出来呢？

4、1637年，笛卡尔在其著作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。这种方法对几何学来说是革命性的。首先，使用代数技巧来解决几何问题，这意味着数与形统一起来了，代数方法与几何方法第一次真正结合了。其次，数学家们有了一种选择，可以将几何学视为代数学的一个分支了。而这个革命性的新进路据说是由一只苍蝇引发的灵感，这则轶事在齐斯·德福林的《数学的语言》一书中有记载。

5、渡边淳一：男女关系不是一门学问，而是一种领悟

6、厉害的是，这部著作一反当时学术界的常规，用法文而不用复杂拉丁文撰写，以便学渣渣也能阅读。其中最为有名的是《几何学》，这包括了他的数学成果。

7、在帕斯卡尔对计算机的热情告一段落不久，有个嗜赌如命的骑士向他讨教赌博输赢的几率问题，由此引导他深入研究，并与地处偏远南方山区的费尔马频频通信。数学史家一般认为，正是这两个法国人的通信，奠定了概率论这一数学分支的基础。随后，打赌的论证也进入到他最重要的散文著作《思想录》，成为其中最长最有名的片段之他的出发点是，上帝要么存在要么不存在，这是一个与打赌一样非此即彼的问题。

8、笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。

9、正如笛卡尔指出的，三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，并不能帮助我们发现未知的事情”。也正由于经院哲学的权威性，笛卡尔的方法论后来缓慢地通过非正式的渠道流传西欧。在英国，它启迪了还在剑桥大学念书的牛顿。牛顿后来在自己家的农场里，从一只落地的苹果获得启示，悟出并得到了万有引力定律，正是从内心里接受笛卡尔新思想的结果。至于数学上的成就，笛卡尔的主要贡献是在几何学方面。

10、从1619年读了约翰尼斯·开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究。他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分。笛卡尔坚信光是“即时”传播的，他在著作《论人》和《哲学原理》中，完整的阐发了关于光的本性的概念。笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究,并在《屈光学》中首次对光的折射定律提出了理论论证。与荷兰的斯涅耳共同分享发现光的折射定律的荣誉。他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律；不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论。他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜。

11、笛卡尔人到中年的时候，五岁的女儿死于热病，他的幸福时光戛然而止，同居的女友也嫁人了。此后，他可能爱上了一个比他年轻二十多岁的贵族小姐，从此陷入一种无法摆脱的精神折磨，直到另一个至高无上的女人出现，那便是瑞典女王克里斯蒂娜。女王派出一艘军舰把笛卡尔邀至斯德哥尔摩，于是在那个格外寒冷的冬天，从小爱睡懒觉的法国人不得不每周三凌晨时分来到王宫，为她讲授哲学。几个月以后，笛卡尔因为肺炎复发死在异乡。

12、众所周知，费尔马的兴趣主要在纯粹数学方面，尤以久而未决并最终在上个世纪末被攻克的“费尔马大定理”闻名于世。而笛卡尔和帕斯卡尔因为多才多艺，并一度生活在巴黎，他们在世时就已声名显赫了。

13、从某种意义上讲，笛卡尔和帕斯卡尔的生活处于两个极端。一个从小特立独行，另一个自幼得到家庭成员的溺爱；一个周游列国，另一个似乎从未离开过法国。对于帕斯卡尔是否体验过爱情的滋味，持肯定态度的人只能从他的散文作品里寻找线索，而笛卡尔生活中的两个女人和一个夭折的女儿是公开的秘密。不过，大凡天才的思想家都只需要一小会儿炽热的恋情，最好是可望而不可即的那种。

14、在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。

15、解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。

16、今天我们无法知道，笛卡尔当初给他的战友兼导师信里提到的那四个重大发现究竟是什么。不过，在由于受伽利略被宗教法庭判决有罪的影响有意推迟出版的《方法论》的附录里，笛卡尔给出了一些几何学上的发现，其中如二次曲线的分类法、曲线的切线作法以及高次方程的解法等均已经过时。如果让笔者来归纳笛卡尔对数学的主要贡献，可能是以下四点：

17、笛卡尔把这条原理当做第一哲学原理，这个原理主要强调的是思维与存在的同一般称为“Cogito，ergosum”(我思故我是)。人们很容易就可以想象到，一个存在的人必然是有思想的，而一个正思想的人也必然是存在的。我是一个人，我可以把人的一切规定性都抽象掉，但唯独不能抽掉那个“我”。我思想，这个思想就直接包含着我的存在，这是一切哲学的绝对基础。

18、该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。

19、能够完美的继承后几章，并用来反对形而上学的机械唯物主义者是拉美特里，他是一名医师，有足够的专业水平去研究人心与人身的关系，拉美特里的哲学正是集中针对心灵与人体来展开论述。马克思说：“拉美特里的著作是笛卡尔唯物主义和英国唯物主义的结合。拉美特里详尽地利用了笛卡尔的物理学。他的《人是机器》一书是仿照笛卡尔的动物是机器的模式写成的。”拉美特里的机械唯物主义对思维与存在的关系回答是：思维(感觉能力)是存在(物质)的属性。

20、他认为人的原始情绪有六种：惊奇、爱悦、憎恶、欲望、欢乐和悲哀，其他的情绪都是这六种原始情绪的分支，或者组合。

21、很快，笛卡尔便申请了退伍，躲到乡下去专心研究哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域，陆陆续续发表了多部重要的文集，还结识了数学家大佬梅森与欧洲主要学者。

22、老帕斯卡尔的教学方法注重解决问题，而不是材料的灌输，从而培养了小帕斯卡尔一种好奇和冒险的精神，他的动手和实验能力也相当出色。与此同时，考虑到儿子的体质，做父亲的侧重于语言教育，至于数学方面，他只讲授了一些基本的原理。这反而使得儿子对这门学科更为好奇和敏感，据说帕斯卡尔十二岁那年，从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理，即三角形的三个内角和等于两个直角之和。

23、笛卡尔的兴趣更广(这一点被后来的歌德效仿)，他在光学、气象学和生理学等方面都有涉足。例如，在气象学上，他试图用自己建立起来的光的折射理论解释彩虹现象，并通过元素微粒的旋转速度来分析颜色。在生理学方面，他的野心就更大了，消化、呼吸、血液循环和神经系统都是他考虑的范围，他还研究喷嚏、咳嗽和哈欠的原理，知觉的机理以及眼球的晶状体，甚至购买尸体用来解剖。可是，他有关心脏功能的描述受到英国医生、血液循环理论的发现者哈维的责难，正如罗素所言，笛卡尔在这些学科上的工作远不如在数学和哲学方面出色。

24、其从某个原点出发，延伸出x轴和y轴，建立了历史上第一个倾斜坐标系，并给出直角坐标系的例子，解析几何由此得以诞生。

25、国王死后，克里斯蒂娜登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间……

26、笛卡尔的主要数学成果集中在他的“几何学”中。当时，代数还是一门新兴科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡尔站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了平面直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡尔的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡尔用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形(包括点、线、面)和“数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折--由常量数学进入变量数学的时期。辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。笛卡尔的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。

27、可是，对帕斯卡尔关于真空存在问题的实验和研究，笛卡尔却不以为然，他认为真空是不存在的，强调在真理的发现中起决定性作用的并非实验。事实表明，笛卡尔的否定是错误的，真空在一定的条件下是存在的。与此同时，帕斯卡尔也批驳了笛卡尔的某些哲学观念，例如对科学过于倚重，强调理智不能认识人生。帕斯卡尔认为：“心灵有其自己的思维方式，那是理智所不能把握的。”这一点并不奇怪，就像笛卡尔在旅途中所发现的，“各地习俗之不同，犹如哲学家见解之各异。”

28、在《思想录》里，有一段论及父亲之死的文字：“如果没有耶稣基督，死亡是可怕的，是令人憎恶的，是自然界丑陋的一面。然而，在有了耶稣基督之后，一切全然改变了，死亡是那样地仁慈、神圣，是信仰者的欢愉。”尽管如此，帕斯卡尔仍把怀疑主义看成是信仰的序曲。当然，他的怀疑主义更多是建设性的，而非破坏性的。他认为，真正的宗教必须比其竞争对手更好地诠释人类的处境。

29、    在荷兰的时候，笛卡尔专注于创造一个全面的，普遍的论述，它将解释自然基于一定的推理和原则。笛卡尔不希望“自然哲学”依赖于抽象的亚里士多德哲学。相反，他想用可以归因于现象本身的属性来解释物理现象。

30、相反，帕斯卡尔对人类的局限性有着充分的理解，他很早就意识到人类的脆弱和过失，他对世界的思考意在克服内心的焦虑，寻求一种确定性，就如同笛卡尔在数学中寻找确定性那样。而对帕斯卡尔来说，无穷的小或无穷的大都让他感觉到惊诧和敬畏，他的数学发现是在有限的空间里得到的，在谈到宇宙时他写道，“这些无限空间的永恒沉默使我恐惧”，而微小的寄生虫又使之如临“新的深渊”。

31、除了和解析几何较劲，他还定义了光的折射、解释了人视力不佳的原因，并顺手发明了最早的“眼镜”、发展了伽利略的运动理论、发现了动量守恒理论的原始版本。

32、两年以后，为了帮助重新出山担任鲁昂地方长官的父亲计算税款，帕斯卡尔开始研制计算机并获得成功，这是人类研制成功的第一台计算机，虽然笨重异常，但可以进行八位数的四则运算。此后十年，帕斯卡尔继续改良并使之完善，陆续造出了五十来台计算机，可惜在广告营销方面不甚得力，留存下来的八台机器中有一台为IBM公司所拥有。为了纪念帕斯卡尔，上个世纪70年代初诞生于美国的一种计算机语言就用他的名字命名。

33、这尊大神就是笛卡尔，他不仅是“现代哲学之父”，更是一名改变了人类历史走向的伟大数学家。

34、但是，笛卡尔拒绝了父亲的安排，并说：“爸爸，我在家憋了那么久，世界那么大，我只想去看看。”于是他选择投笔从戎，借机游历欧洲。

35、霍布斯对笛卡尔的诘难主要表现为经验论与天赋观念论的对立，这场论战还一直持续到洛克与莱布尼兹的争论。

36、当 时，笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以： 

37、笛卡尔的解析几何为后来牛顿和莱布尼兹开发的微积分提供了基础，牛顿和莱布尼兹将无穷小微积分应用到切线问题上，从而使现代变量数学的这一分支得以发展。

38、萨特去世40周年||你是谁，用不着别人贴标签

39、《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学阶段。

40、笛卡尔的著作清楚地表明了他是上帝虔诚的信徒

41、稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域

42、据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。

43、其凸多面体的顶点数v、边数e和面数f之间的关系：v–e+f=后人称之为欧拉-笛卡尔公式。

44、正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”

45、公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。